机器学习课程笔记-5

2017-03-26

Notes about Andrew Ng's Machine Learning course on Coursera-part 5

原创文章，转载请注明：转自Luozm's Blog

1. Neural Networks–Learning

1.1 Cost function

$L$ = 网络层数 $s_l$ =l层的神经元数目（不包括偏置项） $K$ = 输出类别数

Classification

Cost function for NN:

\[\begin{gather*} J(\Theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^K \left[y^{(i)}_k \log ((h_\Theta (x^{(i)}))_k) + (1 - y^{(i)}_k)\log (1 - (h_\Theta(x^{(i)}))_k)\right] + \frac{\lambda}{2m}\sum_{l=1}^{L-1} \sum_{i=1}^{s_l} \sum_{j=1}^{s_{l+1}} ( \Theta_{j,i}^{(l)})^2\end{gather*}\]

其中，$h_\theta(x)\in\mathcal R^K$，$(h_\theta(x))_i=i^{th}$ 输出。

1.2 Backpropagation

如何对每个参数求偏导？也就是$\dfrac{\partial}{\partial \Theta_{i,j}^{(l)}}J(\Theta)$

具体步骤： 准备工作：给定训练集 $\lbrace (x^{(1)}, y^{(1)}) \cdots (x^{(m)}, y^{(m)})\rbrace$，对于所有的 $(l,i,j)$，令 $\Delta^{(l)}_{i,j}=0$

For 训练样本 t=1 to m：

1. 令 $a^{(1)} := x^{(t)}$
2. 对于 $l=2,3,…,L$，正向计算所有输出 $a^{(l)}$
3. 使用$y^{(t)}$ 来计算 $\delta^{(L)} = a^{(L)} - y^{(t)}$（这是输出层的误差）
4. 使用 $\delta^{(l)} = ((\Theta^{(l)})^T \delta^{(l+1)}).* a^{(l)}.* (1 - a^{(l)})$（也就是每层线性组合及sigmoid的局部偏导数）来计算 $\delta^{(L-1)}, \delta^{(L-2)},\dots,\delta^{(2)}$
5. $\Delta_{i,j}^{(l)}:=\Delta_{i,j}^{(l)}+a_j^{(l)}\delta_i^{(l+1)}$（或向量版本：$\Delta^{(l)}:=\Delta^{(l)}+\delta^{(l+1)}(a^{(l)})^T$）

由此我们更新矩阵：

$D_{i,j}^{(l)} := \dfrac{1}{m}\left(\Delta_{i,j}^{(l)} + \lambda\Theta_{i,j}^{(l)}\right)$（正则化）

$D_{i,j}^{(l)} := \dfrac{1}{m}\Delta_{i,j}^{(l)}$（偏置不需要正则化）

最终我们得到：\(\frac \partial {\partial \Theta_{ij}^{(l)}} J(\Theta)\)

1.3 BP–Intuition

二元分类时：

\[\begin{gather*}J(\Theta) = - \frac{1}{m} \sum_{t=1}^m\sum_{k=1}^K \left[ y^{(t)}_k \ \log (h_\Theta (x^{(t)}))_k + (1 - y^{(t)}_k)\ \log (1 - h_\Theta(x^{(t)})_k)\right] + \frac{\lambda}{2m}\sum_{l=1}^{L-1} \sum_{i=1}^{s_l} \sum_{j=1}^{s_l+1} ( \Theta_{j,i}^{(l)})^2\end{gather*}\]

其中一个样本（忽略正则化）：

\[cost(t) =y^{(t)} \ \log (h_\Theta (x^{(t)})) + (1 - y^{(t)})\ \log (1 - h_\Theta(x^{(t)}))\]

最后一层的误差正式地说应该是损失函数对于scores function的偏导数： \(\delta_j^{(l)} = \dfrac{\partial}{\partial z_j^{(l)}} cost(t)\)

注意有分支结构时，反向传播求导应该相加：$\delta_2^{(2)}=\Theta_{12}^{(2)}*\delta_1^{(3)}+\Theta_{22}^{(2)}*\delta_2^{(3)}$